用字母表示加法结合律,用字母表示加法结合律是a+b+c等于

大家好，我是沈强，来自浙江嘉兴南湖国际实验学校，是朱乐平名师工作站第30组的成员，在一课研究的微信平台中，期待与您共同探寻一课研究之路。

1.听一听：“数学课程标准”核心词的实践解读之一----符号意识（2）

2.读一读：“数学课程标准”核心词的实践解读之一----符号意识（2）

3.想一想：课后反思

-----上海市静安区教育学院 曹培英

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教学实践研究的路径有两条，一是回溯式研究，即回顾、追溯曾经的教学经历，从相关经验中筛选、提炼有效策略；二是探索式研究，即针对存在的问题或根据新的设想进行试验性、开拓性的实践，以获得新认识、新经验。以下教学对策是从回溯到探索，两条路径结合、互补的产物。

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让学生亲近符号，接受、理解符号

数学符号有多种分类。比较常见的是按照符号的用处分为：对象符号、运算符号、关系符号、结合符号、性质符号、略写符号等。下面以数字符号、运算符号、关系符号为例，说明如何让小学生亲近、喜欢符号，接受、理解符号。

数字符号

我们先来听听：数字符号

老师们都有自己教学阿拉伯数字符号的经验，其中最为经典的中国式策略就是让学生诵读儿歌，如：1像铅笔，细又长；2 像鸭子，水中游；3 像耳朵，两道弯；4 像小旗，迎风飘；……

实践表明，富有童趣的儿歌能激起学生的认知兴趣，有助于他们记忆字形并掌握书写体。但仅仅停留于此是不够的，还必须重视引导学生初步体会数的抽象。

数学教育家曹飞羽先生曾经讲过这样一个真实的故事：上世纪八十年代人民教育出版社曾编写过一套全国通用教材，实验初期的油印本中，5＞3的插图是这样的：5只小鸡与3只母鸡，尽管画了三条一一对应的虚线，但不少学生还是认为“3大于5”。他们的理由是，1只母鸡都比5只小鸡大，何况是3只母鸡呢。教材的意图是明确的，引导学生抽象的设计也有道理。但考虑到一年级小学生还难以彻底摆脱质量对数量的干扰，所以最后把3只母鸡改成了3只小鸭。

三十多年过去了，这个案例之所以始终保持在记忆里，是因为它能给我们很多提醒。用在这里是想提示：数字符号，作为事物共同属性的标志，它的抽象不是一朝一夕就能完成的，需要一个发展过程，需要持续的教学努力。当然，也和数感的建立密切相关。

运算符号

接下来我们来听听：运算符号

小学数学主要教学加、减、乘、除四种运算的符号，这些符号可以通过动态演示：

加号的演示：先出现一横，再移来一竖，表示“合并”、“添上”、“增加”的意思。

减号的演示：从“＋”里拿走一竖，表示“去掉”、“减少”的意思。

乘号的演示：将“＋”转动 45°成“×”，表示特殊的加法，即表示几个相同加数连加。

当学生看到了这些符号的动态生成，也就记住了相应运算的含义。

我们的实践表明，教学加、减、乘时演示了三个运算符号的生成与含义，到教学除法时，学生一般都会自己解释除号“÷”的含义：“先写中间一横表示平均分，上面、下面各一点，表示每份同样多。”

这些诠释，有些可能并非符号原创者最初的想法，与符号演变历史也有些出入，但从教学工艺学的视角考量，其教学效果非常明显，尤其是孩子喜闻乐见，印象深刻，容易内化。

关系符号

我们再来听听：关系符号

小学数学首先出现的关系符号是等号，接着是大于号、小于号，然后是约等号和不等号。

1557年，等号的首创者英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复is equal to（等于）这个短语，我认真比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了。”

老师们都知道大于号、小于号的共同点是：开口对大数，尖头对小数。有教师发现，伸出右手，请你把右手伸出来，张开食指、中指，就是一个相当标准的大于号；反之，伸出左手，张开食指、中指，就是一个相当标准的小于号。

进而，约等号、不等号，也可以在等号基础上引进：让等长的线段弯一弯，等号就变成了约等号；等号添上斜杠，就表示no，表示不等于。

看来，认为数学符号抽象、难懂的习惯性认识含有偏见。很多数学符号如同“象形文字”，是那样的简洁、生动、形象。面对这些充满简约美的符号，任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌。而且，符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。如此有效的功能不加以开发、利用，实在是非常可惜的。

事实上，数学符号按其形成方式来分类的话，又可以分为象形、缩写、约定（如用a、b、c表示已知数，用x、y、z表示未知数）等类。非常庆幸，小学数学所引进的符号以“象形”为主。除了运算符号、关系符号，几何中的很多符号，如“∥”、“⊥”、“△”等，都具有明显的象形特征。这些符号给我们从一开始就让孩子领略数学符号的美妙与可爱，提供了有利条件。

也正是因为数学的象形符号，与生俱来的简约记忆功能、辅助理解功能，所以小学数学符号教学的基本任务是让学生欣赏符号、感悟符号。那些不切实际，花费可观的时间让学生自创符号的做法，值得反思。给学生自创符号的机会，并鼓励他们张扬个性，是很好的。但若脱离学生的实际，忽视已有符号的认知与领会，就难免流于形式，适得其反。

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初步感悟符号表达的优势与作用

多年来，用字母表示数的教学，成为培养学生符号感的主要途径，因此，这方面的教学经验可谓汗牛充栋，还有什么需要讨论的呢？

一般认为，用字母表示数的优越性主要是简单明了。除此之外，从特殊到一般，揭示一般规律的优点似乎并不突出。例如，加法结合律用字母表示是“a＋b＝b＋a”，用语言描述是“两数相加，交换位置，和不变”，都能揭示一般规律。

这是由于小学数学学习内容简单、学生认知水平有限等因，造成的教学局限性。

仅从中国古代数学的发展历程来看，曾经有过辉煌，明朝中叶之后一直停滞不前，固然有多方面的原因，其中公认的一个重要原因就是忽视了符号的使用。那么，怎样利用小学数学现有的内容，使学生对用字母表示数的优越性有更深入一些的认识呢？

乘法分配律是一个可以充分利用的载体。下面是人教版教材的一个片段：

我们先来看教材：

用字母 a、b、c分别表示三个数，学生不难写出乘法分配律：

(a＋b)×c＝a×c＋b×c。

将它和算式比较，一个特殊，一个一般；与文字叙述比较，一个冗长，一个简洁。通常比较到此为止，实在有些遗憾。

细致分析女孩说的那段话，前面是“两个数”、“一个数”，后面变成了“它们”、“这个数”。原来这么长的一段话，谁和谁先加、再乘，又是谁和谁先乘、再加，仍然没有说清楚，不理解的人读了也白读。可见，用字母表示数的 “优势”不仅在于“简洁”，在于由特殊到一般，更在于“准确”、“无歧义”。

实践表明，“课标2011版”关于符号意识的所有表述，都能在小学得到初步的落实。尽管如此，曹老师还是不想把相关经验再加以细分、展开，一方面是为了突出符号意识培养的主要内容与主要对策，另一方面是曹老师认为，与数感相比，符号意识并非小学数学教学的重点，过于铺开、处处着力难成上策。

这一工作角度的主次之分，并不妨碍研究的深入。重点固然值得研究，非重点也需要研究。相信随着教学探索的深入，还会生成更多的新经验、新策略。

课后反思

通过刚才的阅读，谈到了哪些数学符号？

怎样让学生亲近符号，亲近、理解符号？

如何让学生初步感悟符号表达的优势与作用？

审核人：沈佩峰